在本節中，我們從以定性方式描述結果，轉向嚴謹的定量框架。我們將隨機變數定義為一個確定性的映射——函數——而非代數意義上的「變數」，它將樣本空間中的元素轉換至實數線。
函數定義（定義 2.1.1）
隨機變數 $X$ 是一個函數 $X: S \to R^1$，它將樣本空間 $S$ 中每一個可能的結果 $s$ 分配一個實數 $X(s)$。請參閱 圖 2.1.1 以了解此過程的視覺化映射。
指示函數（$I_A$）
為了連結集合論與算術，我們定義事件 $A$ 的指示函數：
$$I_A(s) = \begin{cases} 1 & s \in A \\ 0 & s \notin A \end{cases}$$
這將事件的發生轉化為一個二進制的數值信號。
定義分佈（定義 2.2.1）
變數 $X$ 的「分佈」是對所有子集 $B \subseteq R^1$ 所產生的概率 $P(X \in B)$ 的集合。嚴格來說，要求 $B$ 必須是 博雷爾子集，這是測度論中的一項技術性限制。然而，任何我們實際上能定義的子集都是博雷爾子集。
機率的極限與連續性
為確保函數在無限情境下行為可預測，我們依賴於定理 1.3.4 和 1.6.1 所建立的公理：
- 可數可加性（1.7.1）： $P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \sum P(B_n)$，其中 $B_n$ 是 $A_n$ 的互斥版本。
- 機率的連續性（1.7.2）： 若一組事件序列 $\{A_n\} \nearrow A$，則 $\lim_{n \to \infty} P(A_n) = P(A)$。
定理 1.3.4 的證明
我們希望證明對於任意事件序列 $A_1, A_2, \dots$（不一定互斥）：
$$P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) \leq P(A_1) + P(A_2) + \cdots$$
這被稱為布爾不等式，是界定複雜系統中機率邊界的基礎。
🎯 歷史背景
「隨機變數」這個詞是透過 喬·杜布（Joe Doob） 與 威廉·費勒（William Feller） 在 1950 年代初以硬幣投擲的方式決定的。雖然從技術上講它是一個函數，但『變數』這個名稱因這次著名的投擲而沿用至今，成為歷史遺產。